Временные и частотные характеристики систем автоматического управления

Временные и частотные характеристики систем автоматического управления

Временные и частотные характеристики систем автоматического управления (САУ) - 4 часа

1. Виды типовых задающих воздействий

Для оценки динамических свойств системы необходимо решить дифференциальное уравнение системы, что возможно только при заданном задающем воздействии. Однако в реальных условиях работы задающее воздействие может быть любой функцией времени. Более того, она может менять свой характер при переходе от одного режима работы системы к другому. Чтобы не решать каждый раз частную задачу исследования динамики элемента при конкретном входном сигнале, а получить довольно полное представление о динамических свойствах элемента в результате одного решения уравнения динамики, целесообразно ввести некоторое типовое задающее воздействие, которое отражает наиболее вероятный режим работы элементов.

В качестве типовых задающих воздействий используют:

Рисунок 1 Типовые функции входного сигнала

1) единичное ступенчатое воздействие 1(t) - это функция, неизменная по величине и равная единице для всех моментов времени t>0, а при всех значениях t<0 равна 0. Например, подключение напряжения к звену или системе, начало обработки на станке, возмущение в виде ударов в механических системах и др.

Аналитически единичная функция может быть представлена таким образом:

1(t) =

2) Дельта-функция - это функция Дирака, которая представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды с бесконечно малой длительностью. Как правило, это шумы, помехи.

Аналитическая форма представления дельта-функции следующая:

Между единичной ступенчатой функцией и дельта-функцией существует связь вида:

.

3) Гармонический сигнал - гармонические колебания с постоянной амплитудой, равной 1.

Этот сигнал может задаваться как в комплексной, так и в вещественной форме, в виде синусоидального или косинусоидального колебания:

,

где А - амплитуда колебаний, равная 1.

- круговая частота, определяемая как , где Т - период;

-начальная фаза.

Рассмотренные виды задающих воздействий имеют различное назначение. В случае применения единичного ступенчатого воздействия рассматривается переходной процесс, возникающий в элементе при переходе его из одного равновесного состояния в другое. Применение гармонического воздействия позволяет получить частотные характеристики системы.

Таким образом, в зависимости от применения определенного вида задающего воздействия динамические характеристики элементов можно разделить на два типа: временные характеристики, характеризующие свойства элементов в переходном режиме и частотные характеристики, отражающие свойства элементов в вынужденном движении.

2. Временные характеристики САУ

Временные характеристики представляют собой функции времени и служат для оценки динамических свойств элементов при их исследовании в плоскости действительного переменного t. К временным характеристикам относятся: переходная характеристика и импульсная переходная характеристика или ее еще называют весовая характеристика. Временные характеристики используются при описании линейных систем, как стационарных так и нестационарных.

Переходной функцией звена называется функция h(t), которая описывает реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t), при нулевых начальных значениях.

График переходной функции - кривая зависимости h(t) от времени t - называется переходной или разгонной характеристикой.

По виду переходной характеристики судят о качестве элемента, оценка которого производится по так называемым показателям переходного процесса. Рассмотрим эти показатели для двух видов переходного процесса: апериодического и колебательного.

Апериодический переходной процесс приведен на рис.2

Рисунок 2. - Апериодический переходной процесс.

Для апериодического переходного процесса, возникающего в системе, характерными показателями будут:

1. Постоянная времени элемента Т, определяемая величиной отрезка, отсекаемого на линии установившегося режима касательной, проведенной к кривой h(t) в начале координат.

2. Длительность переходного процесса Тр, приближенно равная утроенному значению постоянной времени: Тр=3Т.

3. Статическая ошибка Д, представляющая собой отклонение выходной величины от установившегося значения по истечении времени , равного длительности переходного процесса.

Для колебательного переходного процесса можно назвать следующие показатели:

Рисунок 3. - Колебательный переходной процесс.

1.Длительность переходного процесса Тр - это время, в течении которого выходная величина при дальнейшем своем изменении будет отклоняться от установившегося режима не более чем на величину статической ошибки Д.

2. Колебательность - число колебаний за время переходного процесса.

.

3. Перерегулирование - отношение максимального отклонения выходной величины от установившегося значения к самому установившемуся значению:

Таким образом, определив переходную функцию элемента можно охарактеризовать динамические свойства элемента, пользуясь рассмотренными показателями.

Импульсной переходной или весовой функцией звена называется функция (t), которая описывает реакцию звена на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях.

График импульсной переходной функции - кривая зависимости (t) от времени t - называется импульсной переходной характеристикой.

При определении весовой функции (t) использовано понятие единичного импульса. Единичный импульс - это импульс с единичной площадью бесконечно малой длительности. Он описывается дельта функцией , ее можно определить следующим образом:

;

где - произвольное положительное число; - произвольная, непрерывная в окрестности нуля финитная (т.е. отличная от нуля на конечном интервале) функция.

Производная по времени от дельта-функци определяется так:

,

где - обычная финитная функция, обладающая -ой производной;

- -я производная по времени от дельта-функции.

Произведя преобразование Лапласа от дельта-функции и ее производных получаем:

, , .

Установим связь между функциями (t), h(t) и W(s). Приведем уравнение звена в изображениях Лапласа:

Рисунок 4 - Схема для вывода переходной и весовой функций

В соответствии с определением весовой функции (t) при выходная величина .Так как , тот уравнение (1) при принимает вид , откуда

,

т.е. передаточная функция W(s) есть изображение Лапласа весовой функции.

По определению переходной функции при выходная величина . Так как , то уравнение (1) при принимает вид или . Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на s соответствует дифференцирование оригинала, то, переходя к оригиналам, из последнего уравнения получим:

(t) =

Переходная и весовая (импульсная) функции являются исчерпывающими характеристиками звена только при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.

Y(w) = arctg [V(w)/U(w)] - фазочастотная функция

W(jw) - амплитудо-фазочастотная характеристика - кривая, которую описывает вектор при изменении частоты wє[0…?] ¦OC¦= A(w)

Логарифмическая амплитудо-частотная характеристика : ?(w) = 20 lg A(w) [Дб]

Логарифмическая фазочастотная характеристика - зависимость ФЧК от lg(w) [рад] [град]

3. Частотные характеристики САУ

Важную роль при описании линейных стационарных систем (звеньев) играют частотные характеристики, широко используемые для исследования динамических свойств элементов при их работе в вынужденном режиме.

Если на вход линейной САУ подать гармоническое возмущение, то на ее выходе установится гармонический процесс с амплитудой b и фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на угол . Амплитуда и фаза на выходе при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. По этим характеристикам можно судить о динамических свойствах не только звеньев, но и сложных замкнутых САУ.

Рисунок 5. - Линейная САУ под воздействием гармонического возмущения

1. Частотная передаточная функция: W(jw).

Получаем подстановкой S=jw в передаточную функцию звена:

Ее можно представить в виде:

W(jw) = U(w) + jV(w) = A(w) eiц(w)

- частота входного сигнала.

На комплексной плоскости частотная передаточная функция W(jw) определяет вектор ОС, длина (модуль) которого равна A(w), а угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью, равен (w). Кривая, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до бесконечности (годограф вектора W(jw)), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

2. АФЧХ - это кривая, которую описывает конец вектора ОС при изменении частоты от 0 до бесконечности, т.е. годограф вектора.

Годограф вектора W(jw) - геометрическое место концов векторов, соответствующих передаточной функции W(jw) при изменении частоты от 0 до бесконечности.

Для определения модуля и фазы комплексного, коэффициента усиления на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного, отрезка соответствует в определенном масштабе модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положительной полуосью действительных величин.

3. Вещественна частотная функция

U(w) = Re W (jw)

U(w) = A(w) cos (w)

График зависимости U от w наз вещественной частотной характеристикой.

4. Мнимая частотная функция

V(w) = Im W (jw)

V(w) = A(w) sin (w)

График зависимости V от w называют вещественной частотной характеристикой.

5. Амплитудно-частотная функция (АЧФ) - определяется отношением амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала в установившемся режиме: А=b/a.

АЧФ определяется как модуль частотной передаточной функции:

A(w) = |W (jw)| =

График зависимости А от w называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Она показывает как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.

6. Фазо-частотная функция (ФЧФ) - определяется сдвигом фазы выходного сигнала (w)=

ФЧФ определяется как аргумент частотной передаточной функции:

(w) = argW (jw) = arctg V(w)/U(w)

График зависимости от w называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Она показывает фазовые сдвиги вносимые звеном на различных частотах Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.

При расчетах систем пользуются логарифмической амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ) характеристиками. В этом случае по горизонтальной оси откладывают частоту в логарифмическом масштабе, что позволяет отложить на заданном отрезке значительный диапазон частот. Эта наиболее удобная форма представления частотных характеристик для решения задач анализа и синтеза систем.

Рассмотрим координатную систему для такого представления (рис 6.). По оси абсцисс откладываем величину lg w. Вводим единицу измерения: декаду. Декада - длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая десятикратному изменению частоты.

Октава - длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая двухкратному изменению частоты. В одной декаде содержится 3,32 октавы. Декадный интервал применяют чаще.

Рисунок 6. - Координатная система для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ

Фазу обычно откладывают по оси ординат в угловых градусах или в радианах. Ординатой амплитудно-частотной характеристики является величина lg K(w), а пропорциональная ей величина L(w) в децибелах, L(w) = 20 lg K(w) (шкала равномерная). Точка пересечения с осью абсцисс соответствует K(w)=1.

Использование логарифмического масштаба при построении ЛАЧХ обусловлено не столько значительными изменениями модуля комплексного коэффициента усиления, сколько возможностью осуществления графических методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с произведением коэффициентов усиления. А так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, то при графических расчетах для получения произведения нескольких значений весьма удобно осуществить сложение их логарифмов. Удобство логарифмического масштаба по оси ординат в том, что на одном графике можно представить значения, отличающиеся на несколько порядков.