Випадкові сигнали, їх математичні моделі тa характеристики

Випадкові сигнали, їх математичні моделі тa характеристики

Випадкові сигнали, їх математичні моделі тa характеристики

1. Функції розподілу ймовірностей вищих порядків

Повно можна описати випадковий процес, якщо визначити взаємозв'язок між його значеннями при двох довільних моментах часу та .

Такий зв'язок описує двовимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу. Для її визначення поступають таким чином. Розглядають N реалізацій ансамблю в моменти та і вибирають число реалізацій , які в момент були меншими від рівня, а в момент - меншими від рівня , і знаходять значення двовимірної функції розподілу ймовірностей:

. (1)

Вираз (1) описує двовимірну функцію розподілу ймовірностей випадкового процесу. Двовимірну густину розподілу ймовірностей знаходимо диференціюванням виразу (1) по змінних та :

(2)

Аналогічно можна визначити -вимірну функцію розподілу ймовірностей випадкового процесу, яка характеризує ймовірність того, що в моменти часу , ,... значення випадкового процесу будуть знаходитись нижче відповідних рівнів :

(3)

Похідна від -вимірної функції розподілу є -вимірною густиною розподілу ймовірностей:

. (4)

Очевидно, що чим більше значення , тим точніше описуємо випадковий процес. Функція повинна задовольняти умову:

(5)

Ha основі (4) можна записати співвідношення, яке дає змогу визначати n-вимірну функцію розподілу через n-вимірну густину розподілу:

(6)

-вимірна густина розподілу дозволяє визначити ймовірність того, що значення випадкової функції в момент знаходиться на інтервалі між та ; у момент - між та , а в момент - між та :

. (7)

Незважаючи на те, яким великим не було б значення , -вимірна густина розподілу ймовірностей не може повністю характеризувати випадковий процес. Треба зауважити, що для великих значень аналітичний вираз функції є дуже складним і практично його отримати важко. Проте існують деякі типи випадкових процесів, властивості яких можна повністю описати з допомогою густини розподілу ймовірностей для скінченного значення . Такими процесами є так званий білий шум та марковські випадкові процеси.

Білий шум характеризується тим, що його миттєві значення у різні моменти часу є незалежні. Із теорії ймовірностей відомо, що ймовірність спільної появи декількох незалежних подій рівна добуткові ймовірностей появи кожної події зокрема. Отже, -вимірну густину розподілу білого шуму повністю визначаємо добутком n одномірних густин:

(8)

Марковські випадкові процеси характерні тим, що умовна густина розподілу ймовірностей у момент залежить лише від значення випадкового процесу в попередній момент часу і не залежить від більш ранніх подій.

Нагадаємо: із теорії ймовірностей відомо, що умовна ймовірність появи події B за умови, що є подія A, дорівнює:

(9)

де - ймовірність спільної появи подій і ;

- ймовірність появи події .

На основі (9) можемо записати таке співвідношення для марковського випадкового процесу:

(10)

де

- умовна густина розподілу ймовірностей значень випадкового процесу у момент часу залежно від розподілу, в момент ;

- безумовна двовимірна густина розподілу ймовірностей в моменти та ;

- безумовна одновимірна густина розподілу ймовірностей у момент .

Отже, із (10) випливають такі співвідношення для двовимірної, тривимірної і т.д. густини розподілу ймовірностей марковського випадкового процесу:

(11)

(12)

Наведені співвідношення свідчать, що -вимірна густина розподілу ймовірностей марковського випадкового процесу може бути описана з допомогою густин розподілу ймовірностей, не вищих другого порядку.

2. Взаємні функції розподілу ймовірностей випадкових процесів

У попередніх параграфах розглянуто лише один випадковий процес та визначено його функції і густини розподілу ймовірностей різних порядків. Ha практиці часто доводиться розглядати два випадкових процеси та , які можуть бути статистично взаємозв'язані між собою.

Найпростішою характеристикою таких процесів є двовимірна взаємна функція розподілу ймовірностей у довільний момент часу:

(14)

Ця функція визначає ймовірність того, що в момент випадковий процес не перевищує значення , а випадковий процес у цей момент не перевищує значення .

Двовимірна взаємна густина розподілу ймовірностей двох випадкових процесів та визначає ймовірність того, що в момент значення випадкових процесів перебувають у безмежно малих інтервалах поблизу рівнів та відповідно:

(15)

Якщо та взаємозв'язані, то можна записати функцію так:

, (16)

де - безумовна одновимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу ;

- умовна ймовірність того, що випадкова величина не перевищує рівня за умови, що випадкова величина не перевищує рівня .

У разі, коли та є незалежні, то вираз (16) спрощуємо:

, (17)

тобто взаємна функція розподілу дорівнює добуткові одновимірних функцій розподілу ймовірностей обох випадкових процесів.

Властивості взаємних функцій розподілу ймовірностей подібні до властивостей двовимірних функцій розподілу, розглянутих у попередньому параграфі. Зокрема, взаємна функція розподілу ймовірностей двох випадкових процесів може бути визначена через двовимірну взаємну густину розподілу ймовірностей і навпаки:

(18)

(11)

Статистичний зв'язок між двома випадковими процесами може існувати не тільки в один і той же момент часу, але може проявлятися і через проміжок часу. Тому в загальному випадку взаємні закони розподілу випадкових процесів описуються взаємною двовимірною густиною розподілу:

(12)

(13)

Якщо випадкові процеси та є незалежні, то взаємна густина розподілу дорівнює добуткові їх одновимірних густин розподілу у відповідні моменти часу:

(14)

Випадкові процеси, які задовольняють умову (14), називають некорельованими.

3. Кореляційні моменти

Раніше було показано, що частинний опис властивостей випадкового процесу дають моментні функції, тобто часові залежності математичного сподівання та дисперсії . Проте два випадкові процеси можуть мати однакові часові залежності та , але характер перебігу цих процесів у часі та їх внутрішні структури можуть істотно відрізнятися.

На рис.1 зображені реалізації двох випадкових процесів, для яких моментні функції є однаковими, у той час, коли в першому процесі переважають повільні зміни в часі, а у другому - швидкі.

Отже, математичне сподівання та дисперсія не відображають швидкості протікання випадкового процесу і тому для оцінки цієї властивості вводять нову характеристику, яка описує ступінь статистичного зв'язку миттєвих значень, узятих у різні моменти часу. Найбільш поширеною числовою характеристикою такого типу є математичне сподівання добутку центрованих випадкових величин:

Рисунок 1 - Реалізації випадкових процесів з однаковими часовими залежностями математичного сподівання та дисперсії

(15)

Цю характеристику називають кореляційним моментом або коваріацією випадкових величин та .

Якщо ці величини є вибірковими значеннями з одного й того ж випадкового процесу у різні моменти часу, то таку характеристику інколи називають автоковаріацією. Якщо ж згадані випадкові величини є вибірками з різних випадкових процесів, то характеристику (15) називають взаємною коваріацією.

При прямопропорційному статистичному зв'язку між випадковими величинами говорять про коваріантність, а при обернено пропорційному зв'язку - про контрваріантність. У першому випадку знак кореляційного моменту додатний, а у другому випадку - від'ємний.

Розглядаючи автоковаріації випадкових процесів, зображених на рисунку 6, можемо переконатися, що при достатньо малому інтервалі між моментами відліку та будь-які пари центрованих значень випадкового процесу та мало відрізняються за абсолютною величиною і майже ніколи не відрізняються знаками. Тому середнє значення добутку таких величин по ансамблю реалізацій є додатним і зі зменшенням до нуля наближається до дисперсії, тобто

Ha практиці швидкість зміни значень випадкового фізичного процесу обмежена. Це пояснюється інерційними властивостями елементів, в яких він протікає. Зокрема, інерційними в електричному розумінні є конденсатори та котушки індуктивності. Але при збільшенні інтервалу між моментами вибірки відносна кількість реалізацій, в яких центровані вибірки мають різні знаки, зростає і наближається до кількості реалізацій з однаковими знаками центрованих вибірок. У результаті математичне сподівання добутку центрованих величин зменшується. Це можна описати граничним співвідношенням:

. (16)

Зауважимо, що абсолютне значення кореляційного моменту (математичного сподівання добутку центрованих величин) може мати різну величину в залежності від абсолютних значень центрованих величин. Ця величина може бути велика при слабкому статистичному зв'язку і навпаки. Щоб цього уникнути, нормують значення кореляційного моменту й отриману величину називають коефіцієнтом кореляції:

, (17)

де та - середні квадратичні відхилення випадкових величин та відповідно.

Зрозуміло, що при цьому абсолютне значення коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці, і тому справедливе таке співвідношення:

(18)

Ліва нерівність характеризує контрваріантний зв'язок, а права - коваріантний.

За наявності ансамблю з реалізацій випадкового процесу коефіцієнт кореляції між його миттєвими значеннями в моменти і визначаємо за формулою:

(19)

де - математичні сподівання (середні значення) випадкового процесу в моменти та відповідно.

4. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси

Випадкові процеси можна поділити на дві великі групи: стаціонарні та ергодичні. Випадковий процес є стаціонарним, якщо будь-яка -вимірна функція розподілу його значень, узятих у різні моменти часу , ,...,, не змінюється за будь-якого зсуву (зміщення) усієї групи , ,..., уздовж осі часу.

Із даного означення випливають властивості, характерні лише для стаціонарного випадкового процесу:

а) одновимірна густина розподілу незмінна у часі:

; (20)

б) двовимірна густина розподілу залежить лише від різницевого часового інтервалу , тобто

; (21)

в) тривимірна густина розподілу залежить від двох різницевих часових інтервалів - та -.

Очевидно, що -вимірна густина розподілу залежить від () різницевих інтервалів, які визначають взаємне розміщення усіх точок відліку.

Оскільки одновимірна густина розподілу ймовірностей стаціонарного випадкового процесу не залежить від часу, то всі моменти одновимірного розподілу і, зокрема, середні значення та дисперсія, є теж сталі. Із пункту (б) також випливає, що автоковаріація стаціонарного процесу залежить лише від різниці .

Стаціонарні випадкові процеси виникають у джерелах випадкових сигналів при усталених режимах роботи, за незмінних умов зовнішнього середовища та незмінних значень параметрів електричних кіл, через які проходять випадкові сигнали.

Ергодичні випадкові процеси характерні тим, що їх закони розподілу або моментні функції можна визначити, усереднюючи необхідні величини на основі лише одної реалізації, отриманої за достатньо великий проміжок часу. Зауважимо, що в загальному випадку стаціонарні випадкові процеси можуть не мати властивості ергодичності.

У випадку ергодичних стаціонарних процесів усереднення по ансамблю реалізацій та усереднення у часі в межах одної реалізації дають однаковий результат:

; (59)

; (22)

. (23)

У наведених виразах риска згори означає усереднення в часі. Вираз (59) визначає середні значення неперервного коливання, а вираз (22) - середню потужність, котру виділяє коливання , яке характеризує напругу або струм на одиничному опорі.

Аналізуючи два і більше випадкових процесів, часто треба визначити, наскільки вони взаємозв'язані між собою і чи цей статистичний взаємозв'язок є сталим.

Випадкові процеси називаються стаціонарно зв'язаними, якщо будь-які -вимірні сумісні функції їх розподілу не змінюються при одночасному довільному зміщенні точок відліку вздовж осі часу. Отже, для стаціонарно зв'язаних процесів справедливе співвідношення:

(24)

Якщо у виразі (24) та є значеннями одного й того ж процесу, тобто , , то його праву частину можна розглядати як автокореляційну функцію центрованої складової коливання :

(25)

Якщо ж у виразі (24) та є вибірками з різних процесів та , то він визначає функцію їх взаємної кореляції:

(26)

Тому, якщо випадкові процеси є стаціонарними та ергодичними, то їх коваріації збігаються із функціями кореляції.

5. Енергетичний спектр випадкового процесу

Спектральне зображення сигналів широко застосовують у радіоелектроніці, і тому закономірною є спроба використати математичнй апарат спектрального методу для аналізу випадкових процесів. Але при цьому з'являється низка труднощів.

Перша з них пов'язана з тим, що в загальному випадку реалізації випадкового процесу є неперіодичні і розкласти їх у ряд Фур'є неможливо. Друга зумовлена тим, що будь-яка реалізація випадкового процесу нескінченної тривалості не допускає також здійснення інтегрального перетворення Фур'є, бо інтеграл не збігається із-за невиконання умов Діріхле.

Проте для будь-якої реалізації скінченної тривалості можна знайти спектральну густину згідно з (25). Енергію цієї реалізації, визначаємо співвідношенням:

, (27)

де - модуль спектральної густини реалізації , а її середня потужність:

, (28)

де - спектральна густина потужності -ої реалізації.

Зауважимо, що у разі необмеженого зростання тривалості співвідношення (27) має сенс лише за умови, що енергія будь-якої реалізації є обмеженою.

Оскільки стаціонарні процеси мають необмежену енергію на необмеженому інтервалі, то при їх аналізі доцільно використовувати не енергію, а спектральну густину потужності, яку прийнято називати енергетичним спектром випадкового процесу.

Спектральною густиною потужності випадкового процесу називають середні значення спектральних густин окремих реалізацій:

, (29)

де пряма риска вгорі означає усереднення по ансамблю реалізацій.

Із (29) випливає, що енергетичний спектр не містить у собі інформації про фазові співвідношення.

Тому відновити реалізації випадкового процесу на основі енергетичного спектра принципово неможливо.

Практичний розрахунок спектральної густини потужності випадкового процесу на основі формули (29) часто ускладнюється необхідністю обробки множини спектральних функцій, узятих з ансамблю реалізацій.

Отже, відмінність між звичайним спектром Фур'є детермінованого сигналу та енергетичним спектром випадкового процесу полягає у тому, що останній є усередненою характеристикою частотних властивостей цілого ансамблю можливих реалізацій випадкового процесу.

Аналіз показує, що усереднені характеристики часових та частотних властивостей випадкового процесу, тобто функція автокореляції та енергетичний спектр взаємозв'язані між собою.

Відома формула Вінера-Хінчина, згідно з якою енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу з нульовим середнім значенням та його автокореляційна функція взаємозв'язані прямим та зворотним інтегральними перетвореннями Фур'є:

(30)

(31)

де - усереднена за ансамблем автокореляційна функція (пряма риска згори означає усереднення по ансамблю реалізацій).

Якщо випадковий процес є ергодичним, то для повної характеристики достатньо мати лише його одну теоретично необмежену в часі реалізацію.

Отже, для ергодичного стаціонарного процесу спектральну густину потужності флуктуацій N() можна визначити прямим перетворенням Фур'є функції кореляції В() випадкового процесу, знайденої за одною реалізацією:

(31а)

У відповідності з цим зворотне перетворення Фур'є спектральної густини дає функцію кореляції:

(32)

3 огляду на те, що функція автокореляції і модуль спектральної густини є парними функціями, то співвідношення (31) і (32) можна записати так:

(33)

(34)

Ha завершення розгляду властивостей енергетичного спектра випадкового процесу зауважимо, що енергетичний спектр дозволяє розрахувати дисперсію випадкового процесу. Враховуючи, що , із (34) випливає:

. (35)